Definicje z zakresu Teorii Optymalizacji¶

Podane poniżej definicje zostały zaczerpnięte z [Grabowski1980].

Definicja 55

Problemem programowanie kwadratowego (kwadratowym zadaniem optymalizacji) nazywamy problem maksymalizacji funkcji wklęsłej, kwadratowej (lub minimalizacji funkcji wypukłej, kwadratowej) na wielościennym zbiorze wypukłym

Definicja 56

Niech \(f,g_1,\ldots,g_m\) będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na zbiorze otwartym \(A\subset\mathbb{R}^n\). Problemem programowania nieliniowego (zadaniem optymalizacji nieliniowej) nazywamy problem znalezienia punktu \(x_0\) należącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych \(\mathcal{X}\) takiego, że spełnione są warunki

\[\begin{split}f(x_0)=max_{x\in \mathcal{X}}f(x)\\ x_0\in \mathcal{X}=\{x\in A; g_i(x)\geq 0\textrm{ dla } i=1,\ldots m\}\end{split}\]

Definicja 57

Funkcją Lagrange’a problemu programowania nieliniowego nazywamy funkcję postaci

\[L(x,y)=f(x)+\sum_{i=1}^my_ig_i(x)\]

Definicja 58

Niech dane będą funkcje \(f, g_1,\ldots, g_m\) różniczkowalne w \(\mathbb{R}^n\). Problemem Kuhna-Tuckera nazywamy problem znalezienia punktu \((x_0, y_0)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\) takiego, że spełnione są warunki

(1)\[\begin{split}\frac{\delta L(x,y)}{\delta x}=0,\nonumber\\ \sum_{i=1}^my_ig_i(x)=0,\\ g(x)\geq 0,\nonumber\\ y\geq 0.\nonumber\end{split}\]

Definicja 59

Warunkami Kuhna-Tuckera nazywamy warunki postaci (1).

Definicja 60

Problemem programowanie wypukłego (wypukłym zadaniem optymalizacji) nazywamy problem optymalizacji funkcji celu

\[f(x)\to \max\]

przy warunkach

\[g_i(x)\geq 0 \textrm{ dla } i=1.\ldots, m\]

gdzie \(f,g_1,\ldots,g_m\) są funkcjami wklęsłymi.